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教育头条 > 优师支招 > 小学数学21类应用题宝典,类型归纳+解题思路+例题整理 (三)

小学数学21类应用题宝典,类型归纳+解题思路+例题整理 (三)

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小学数学应用题宝典,类共分21类,讲解详细,内容全面,例题经典,对小学生学习数学很有帮助。
 
 
 
 
小学数学21类应用题宝典(一)

小学数学21类应用题宝典 (二)
 
小学数学21类应用题宝典 (三)
  
 
十五、工程问题  
 
【含义】  
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。  
【数量关系】  
解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。  
工作量=工作效率×工作时间  
工作时间=工作量÷工作效率  
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)  
【解题思路和方法】  
变通后可以利用上述数量关系的公式。  
例1  
一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?  
解  
题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。  
由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)  
答:两队合做需要6天完成。  
例2  
一批零件,甲独做6小时完成,乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个,求这批零件共有多少个?  
解一  
设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时,这个时间内,甲比乙多做24个零件,所以  
(1)每小时甲比乙多做多少零件?  
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)  
(2)这批零件共有多少个?  
7÷(1/6-1/8)=168(个)  
答:这批零件共有168个。  
解二  
上面这道题还可以用另一种方法计算:  
两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3  
由此可知,甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7  
所以,这批零件共有24÷1/7=168(个)  
例3  
一件工作,甲独做12小时完成,乙独做10小时完成,丙独做15小时完成。现在甲先做2小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成?  
解  
必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此,我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数,例如最小公倍数60,则甲乙丙三人的工作效率分别是  
60÷12=560÷10=660÷15=4  
因此余下的工作量由乙丙合做还需要  
(60-5×2)÷(6+4)=5(小时)  
答:还需要5小时才能完成。  
例4  
一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管?  
解  
注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。  
要2小时内将水池注满,即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。  
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1×4×5),2个进水管15小时注水量为(1×2×15),从而可知  
每小时的排水量为(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1  
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知  
一池水的总工作量为1×4×5-1×5=15  
又因为在2小时内,每个进水管的注水量为1×2,  
所以,2小时内注满一池水  
至少需要多少个进水管?(15+1×2)÷(1×2)  
=8.5≈9(个)  
答:至少需要9个进水管。
 
十六、正反比例问题  
 
【含义】  
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。  
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。  
【数量关系】  
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。  
【解题思路和方法】  
解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。  
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。  
例1  
修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?  
解  
由条件知,公路总长不变。  
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12  
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12  
比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为300÷(4-3)×12=3600(米)  
答:这条公路总长3600米。  
例2  
张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?  
解  
做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系  
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X  
28X=91×4X=91×4÷28X=13  
答:91分钟可以做13道应用题。  
例3  
孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?  
解  
书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系  
设X天可以看完,就有24∶36=X∶15  
36X=24×15X=10  
答:10天就可以看完。
 
十七、按比例分配问题  
 
【含义】  
所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。  
【数量关系】  
从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和  
【解题思路和方法】  
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。  
例1  
学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?  
解  
总份数为47+48+45=140  
一班植树560×47/140=188(棵)  
二班植树560×48/140=192(棵)  
三班植树560×45/140=180(棵)  
答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。  
例2  
用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?  
解  
3+4+5=1260×3/12=15(厘米)  
60×4/12=20(厘米)  
60×5/12=25(厘米)  
答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。  
例3  
从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。  
解  
如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到  
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2  
9+6+2=1717×9/17=9  
17×6/17=617×2/17=2  
答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。  
例4  
某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?  
解  
80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)  
答:三个车间一共820人。  
 
十八、百分数问题  
 
【含义】  
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。  
在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。  
【数量关系】  
掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:  
百分数=比较量÷标准量  
标准量=比较量÷百分数  
【解题思路和方法】  
一般有三种基本类型:  
(1)求一个数是另一个数的百分之几;  
(2)已知一个数,求它的百分之几是多少;  
(3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数。  
例1  
仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几?  
解  
(1)用去的占720÷(720+6480)=10%  
(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%  
答:用去了10%,剩下90%。  
例2  
红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?  
解  
本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)÷525=0.2=20%  
或者1-420÷525=0.2=20%  
答:男职工人数比女职工少20%。  
例3  
红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?  
解  
本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此  
(525-420)÷420=0.25=25%  
或者525÷420-1=0.25=25%  
答:女职工人数比男职工多25%。  
例4  
红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?  
解  
(1)男职工占420÷(420+525)=0.444=44.4%  
(2)女职工占525÷(420+525)=0.556=55.6%  
答:男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。  
 
十九、“牛吃草”问题  
 
【含义】  
“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。  
【数量关系】  
草总量=原有草量+草每天生长量×天数  
【解题思路和方法】  
解这类题的关键是求出草每天的生长量。  
例1  
一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?  
解  
草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天内的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:  
(1)求草每天的生长量  
因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以  
1×10×20=原有草量+20天内生长量  
同理1×15×10=原有草量+10天内生长量  
由此可知(20-10)天内草的生长量为  
1×10×20-1×15×10=50  
因此,草每天的生长量为50÷(20-10)=5  
(2)求原有草量  
原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100  
(3)求5天内草总量  
5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125  
(4)求多少头牛5天吃完草  
因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。  
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)  
答:需要5头牛5天可以把草吃完。  
例2  
一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘  
水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?  
解  
这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:  
(1)求每小时进水量  
因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量  
10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量  
所以,(10-3)小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14  
因此,每小时的进水量为14÷(10-3)=2  
(2)求淘水前原有水量  
原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30  
(3)求17人几小时淘完  
17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是  
30÷(17-2)=2(小时)  
答:17人2小时可以淘完水。
 
二十、鸡兔同笼问题  
 
【含义】  
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。  
【数量关系】  
第一鸡兔同笼问题:  
假设全都是鸡,则有  
兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)  
假设全都是兔,则有  
鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)  
第二鸡兔同笼问题:  
假设全都是鸡,则有  
兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)  
假设全都是兔,则有  
鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)  
【解题思路和方法】  
解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。  
例1  
长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?  
解  
假设35只全为兔,则  
鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)  
兔数=35-23=12(只)  
也可以先假设35只全为鸡,则  
兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)  
鸡数=35-12=23(只)  
答:有鸡23只,有兔12只。  
例2  
2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?  
解  
此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有  
白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)  
答:白菜地有10亩。  
例3  
李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?  
解  

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